量子物理整理

第一章 量子物理基础

¶1.1 光量子、玻尔原子

¶1.1.1 黑体辐射与普朗克的量子假设

¶基尔霍夫辐射定律

单色辐出度$M(\lambda,T)=\dfrac{dE_\lambda}{d\lambda}(w/m^3)$：单位时间物体表面单位面积内发射的波长在$\lambda$附近单位波长间隔内的辐射能

总辐出度$M(T)=\int_0^{+\infty}M(\lambda,T)d\lambda$

物体向周围发射辐射能的同时，也吸收周围物体的辐射能。辐射从外界入射到不透明物体时，一部分吸收，一部分反射（一部分透射）

单色吸收比$\alpha(\lambda,T)$在波长为$\lambda\sim\lambda+d\lambda$范围内的吸收比

任何温度下吸收比=1称为（绝对）黑体

$\dfrac{M_1(\lambda,T)}{\alpha_1(\lambda,T)}=\dfrac{M_2(\lambda,T)}{\alpha_2(\lambda,T)}=\cdots=M_0(\lambda,T),M_0(\lambda,T)是黑体单色辐出度$

带小孔孔腔视为绝对黑体的模型

黑体辐射基本规律：

1. 斯特藩-玻尔兹曼定律：==$M_0(T)=\sigma T^4$==，总辐出度$M_0(T)$
2. 维恩位移定律：==$\lambda_mT=b$==，单色辐出度的峰值波长$\lambda_m$

¶普朗克能量子假说

普朗克公式：==$M_0(\lambda,T)=2\pi hc^2\lambda^{-5}\dfrac1{e^{hc/k_BT\lambda}-1}$==

• 波长短/温度低的近似：

  维恩公式：$M_0(\lambda,T)=2\pi hc^2\lambda^{-5}e^{-hc/k_BT\lambda}$

• 波长高/温度高的近似：

  瑞利-金斯公式：$M_0(\lambda,T)=2\pi k_Bc\lambda^{-4}T$

普朗克假定：$谐振子能量值只取某个最小能量的整数倍\epsilon = h\nu$

¶1.1.2 光的波粒二象性

1. 光电效应

   1. 电势差足够大时，光电流饱和，饱和电流大小与入射光强成正比

   2. 遏制电压$U_0$，$U=-U_0$，光电流为0。光电子从表面逸出最大初速度$v_m$满足：$\dfrac12mv_m^2=eU_0$。最大初动能于入射光强度无关

   3. 红限频率

      遏制电势差与入射光频率有线性关系，斜率与金属种类无关

   4. 弛豫时间

      几乎瞬时

2. 爱因斯坦光电效应方程

   1. 光强：$nh\nu$
   2. 遏制电压：$\dfrac12mv^2=h\nu-A=eU_c,\ A:逸出功$
   3. 红限频率：$v_0=\dfrac Ah$

3. 康普顿散射

   ==$\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0=\dfrac h{m_ec}(1-\cos\theta)$==

¶1.1.3 玻尔原子理论

氢原子光谱来自电子跃迁，因此不是连续谱

里德伯公式：$\tilde{\nu}=\dfrac1\lambda=R_H(\dfrac1{m^2}-\dfrac1{n^2})$, $R_H=1.0967758\times10^7 m^{-1}$，单位是$1/m$

玻尔假设：

1. 定态条件：电子绕核圆周运动，不辐射能量，处于稳定状态称为定态，相应的能量称为能级
2. 频率条件：跃迁能量$h\nu=E_n-E_m$
3. 角动量量子化条件：==$mv_nr_n=n\hbar=n\dfrac h{2\pi}$;$\dfrac {e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=m\dfrac{v^2}r$==

==$E_1=-13.6eV$==单位是eV

¶1.2 物质波

¶1.2.1 物质波

实物粒子具有波动性

$E=h\nu=\hbar\omega$

$\vec p=\dfrac h\lambda\vec n=\hbar k\vec n$

¶1.3&1.4 波函数和态叠加原理&薛定谔方程

¶1.4.1 波函数

波函数用平面波描述：

1. ==自由粒子：$\Psi(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}=Ae^{\frac i\hbar(px-Et)}$==
2. 势场中的粒子：$\Phi(\vec r,t)$

纹间距$\Delta\propto\lambda,\lambda=\dfrac h{mv}$

性质：单值、有限（全空间中模长积分为0）、连续

$\int_{-\infty}^{\infty} x^n e^{-\alpha x^2} dx = 0 \quad \text{（n 为奇数）}$

$\int_{-\infty}^{\infty} x^{2k} e^{-\alpha x^2} dx = \frac{(2k - 1)!!}{(2\alpha)^k} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$

==特别一些，$\int_{-\infty}^\infty x^{2k}e^{-x^2}dx=(2k-1)!!\sqrt{\pi}$==

==再特别一些，$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$==

¶1.4.2波函数的应用

1. 电子绕核转动形成环形驻波：$2\pi r=n\lambda;\lambda=\dfrac h{mv}\Rightarrow L=mvr=n\hbar$
2. 一维无限深势阱驻波：$L=n\dfrac \lambda 2\Rightarrow p = \dfrac h\lambda=n\dfrac h{2L};E_n=\dfrac{p^2}{2m}=n^2\dfrac{h^2}{8mL^2}$

¶1.4.3波函数的统计解释

1. 亮度：德布罗意波强度的大小$\left |\Psi\right |^2=\Psi\Psi^*=\begin{cases}极大值 ，&亮条纹\0，极小值，&暗条纹\end{cases}$

   亮度的物理意义为概率密度

2. 波函数满足条件

   1. 单值，任何地方不可能有多个波函数（概率密度）

   2. 有限：$\int\limits_\Omega\left | \Psi(\vec r,t)\right |^2dV=1（\Omega为全空间）$

      （但不排除有些孤立奇点趋于无穷

   3. 连续：二阶导存在

¶1.3.1 薛定谔方程

1. 自由粒子的薛定谔方程

   ==$i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial}{\partial x ^2}\Psi(x,t)$==

   1. 推广到势场$U(x,t)$

      ==$i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial}{\partial x ^2}+U(x,t)\right]\Psi(x,t)$==

   2. 推广到三维情况

      $\nabla^2=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$

      ==$\hat H=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\vec r,t)$==

      $i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec r,t)=\hat H\Psi(\vec r, t)$

2. 定态薛定谔方程(粒子在空间中出现的概率是稳定不变的)

   若$\dfrac{\partial\hat H}{\partial t}=0$或者$U$与时间无关，则薛定谔方程可以分离变量

   1. 分离变量

      1. ==$i\hbar\dfrac{dT(t)}{dt}=ET(t)$==
      2. ==$\hat H\Phi(\vec r)=E\Phi(\vec r)$==

   2. 振动因子

      分离变量方程1的解为$T(t)=Ce^{-\frac ihEt}$

   3. 定态薛定谔方程（能量本征方程）就是方程2

      ==$\left(-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\vec r)\right)\Phi(\vec r)=E\Phi(\vec r)$==

      通解：$\Psi(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_ne^{-\frac{iE_nt}\hbar}\Phi_n(x)$

   定态：能量取特定值的状态，薛定谔方程的特解

   ==判断是否是定态：$\left | \Psi(x,t)\right |^2=\Psi(x,t)^*\cdot\Psi(x,t)$是否与$t$相关，不相关则定态==

¶1.3.2 不确定度关系

$\Delta x\cdot\Delta p_x\geq\dfrac{\hbar}2$

$\Delta y\cdot\Delta p_y\geq\dfrac{\hbar}2$

$\Delta z\cdot\Delta p_z\geq\dfrac{\hbar}2$

$\Delta E\cdot \Delta t\geq \dfrac \hbar 2$

¶1.3.3 几率流密度矢量

==$i\hbar(\Psi^\Psi)=\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla\cdot[\Psi\nabla\Psi^-\Psi^*\nabla\Psi]$==

几率密度：$\rho=\Psi^*\Psi$

几率流密度矢量：==$\vec J=\dfrac{i\hbar}{2m}[\Psi\nabla\Psi^-\Psi^\nabla\Psi]$==

几率守恒方程：

微分形式：$\dfrac \partial{\partial t}\rho+\nabla\cdot\vec J=0$

积分形式：$\frac{d}{dt}\int_\tau\rho(\vec r,t)d\tau=-\oint_S \vec J\cdot d\vec S$

左边：闭区域$\tau$内找到粒子的总几率（或粒子数）在单位时间内的增量

右边：单位时间内通过$\tau$的封闭表面 $S$流入（面积分前面的负号）$\tau$内的几率（或粒子数）

¶1.3.3 叠加态

1. 若$\Psi_1,\Psi_2,\cdots,\Psi_n$是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性叠加态$\Psi=\sum\limits_{i=1}^nc_i\Psi_i$

2. 处于$\Psi态时，部分地处于每种态，处于\Psi_k态的几率是\left|c_k\right|^2$，且$\sum\limits_{k=1}^n\left|c_k\right|^2=1$

   条件：

   1. $\Psi_1,\cdots,\Psi_n$正交归一
   2. $\Psi$满足归一化条件$\int\Psi^*\Psi_ldx=\delta_{kl}=\begin{cases}1&k=l\0&k\neq l\end{cases}$

¶1.4.4 无限深阱势中的粒子

==$\Phi(x)=\begin{cases}\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\dfrac{n\pi}ax &0<x<a&阱内\0&x\leq0,x\geq a&阱外\end{cases}$==

性质：

1. 正交性：$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Phi^*m(x)\Phi_n(x)dx=\delta{mn}=\begin{cases}1&m=n\0&m\ne n\end{cases}$
2. 通过初始状态确定每一个本征波函数的系数
3. 基态是$E_1$，第n激发态是$E_{n+1}$，==$E_n=\dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$==
4. 边界条件：函数连续且一阶导连续

¶1.5 物理量与算符

1. 位置算符：$\hat x\rightleftharpoons x$

2. 动量算符：$\hat p \rightleftharpoons -i\hbar\nabla$

3. 总能量算符：$\hat H\rightleftharpoons-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\vec r)$

4. 设算符为$\hat A$，则以下物理量的==平均值为$\int_{-\infty}^\infty \Psi^*\hat A\Psi dx$==

   物理量	坐标空间表示（$x$ 表象）	动量空间表示（$p$ 表象）	说明
   位置算符$\hat{x}$	$\hat{x} = x$	$\hat{x} = i\hbar \frac{d}{dp}$	乘法/导数互为傅里叶对
   动量算符$\hat{p}$	==$\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}$==	$\hat{p} = p$
   动能算符$\hat{T}$	==$\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}$==	$\hat{T} = \frac{p^2}{2m}$
   势能算符$\hat{U}(x)$	==$\hat{U}(x) = U(x)$==	$\hat{U}(x) = U(i\hbar \frac{d}{dp})$	非平移不变势变成微分算符
   哈密顿量$\hat{H}$	==$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + U(x)$==	$\hat{H} = \frac{p^2}{2m} + U(i\hbar \frac{d}{dp})$	总能量
   力矩$\hat{L}_z$	$\hat{L}_z = -i\hbar \left( x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x} \right)$	$\hat{L}_z = -i\hbar \left( p_x \frac{\partial}{\partial p_y} - p_y \frac{\partial}{\partial p_x} \right)$	平面角动量（z分量）
   总角动量$\hat{\vec{L}}$	$\hat{\vec{L}} = -i\hbar \vec{r} \times \nabla$	$\hat{\vec{L}} = -i\hbar \vec{p} \times \nabla_p$	三维角动量向量
   角动量平方$\hat{L}^2$	$\hat{L}^2 = -\hbar^2 \left( \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} \right)$	同左（在$p$ 空间极坐标中结构相同）	球坐标形式，常见于中心势问题
   $\hat{L}_x$	$-i\hbar (y \dfrac \partial{\partial z} - z \dfrac{\partial}{\partial y})$	同形式	角动量 x 分量
   $\hat{L}_y$	$-i\hbar (z \dfrac\partial{\partial x} - x \dfrac\partial{\partial z})$	同形式	角动量 y 分量
   $\hat{L}_z$	$-i\hbar (x \dfrac\partial{\partial y} - y \dfrac\partial{\partial x})$	同形式	角动量 z 分量
   自旋$\hat{S}_x$	$\hat{S}_x = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$	同左	Pauli 矩阵$\sigma_x$
   自旋$\hat{S}_y$	$\hat{S}_y = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \ i & 0 \end{pmatrix}$	同左	Pauli 矩阵$\sigma_y$
   自旋$\hat{S}_z$	$\hat{S}_z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}$	同左	Pauli 矩阵$\sigma_z$
   粒子数算符$\hat{N}$	$\hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a}$	同左	通常用于谐振子/量子场理论

5. 算符的运算规则

   1. 线性算符

   2. 算符之和：$(\hat A+\hat B)\psi=\hat A\psi+\hat B\psi$

   3. 算符之积：$(\hat A\hat B)\phi=\hat A(\hat B\phi)$

   4. $\left[\hat A\hat B-\hat B\hat A\right ]=\hat A\hat B-\hat B\hat A为方程\hat A和\hat B的对易式，若为0，则两者对易$

   5. 算符的本征方程（类似矩阵的特征值）$\hat A\varphi=\lambda\phi$

   6. 算符的复共轭：所有复量换成共轭复量

   7. 厄密算符（厄密算符的共轭转置等于本身）

      若两个任意的波函数$\psi$和$\varphi$，满足$\int\psi^\hat F\varphi d\tau=\int(\hat F\psi)^\varphi d\tau,d\tau\equiv dxdydz$

      常见厄密算符：位置算符、动量算符、能量算符

      量子力学中的力学量算符都是厄密的

6. 厄密算符

   1. 实数性：本征值为实数

   2. 正交性：任意两个本征函数总是正交的

      函数的正交：$\int\psi^*_1(\vec r)\psi_2(\vec r)d\tau=0$

   3. 完备性：

   4. 即对任一模平方可积函数$\psi$，可表示为$\psi(\vec r)=\sum\limits_nc_n\psi_n(\vec r)$，这也可称为广义傅立展开

¶1.6 力学的测量值 测量与量子态的坍缩

1. 粒子处于本征态$\psi _n$时，测量值是确定的，为本征值$\lambda_n$
2. 如果体系 $\psi(\vec{r})=\sum\limits_n c_n \psi_{n}(\vec{r})$ 不处于 F 的本征态，它的力学量的测量值不是确定的：测量值可能为任意一个本征态 $\psi_{n}$ 对应的本征值 $\lambda_{n}(n=1,2,...)$，对应的概率分布为 $|c_n|^2$。
   $c_{n}=\int \psi_{n}^{*}(\vec{r}) \psi(\vec{r}) d\tau$
   $c_{n}$ 代表了两个态的“相似程度”→ 测量坍缩到本征态 $\psi_{n}$ 的概率
3. 第一次测量之后，量子态会坍缩为一个$\psi_n$，第二次测量时，体系的态就是$\psi_n$了
4. 物理量的偏差为方均根偏差，即$\Delta x = <x^2>-^2$

¶1.7 不同力学量能同时确定的条件

==两个力学量能同时确定（即具有共同本征态）的充分必要条件是它们的算符对易。==

角动量算符互相不对易

角动量平方算符与其分量对应

角动量算符与坐标算符对应

==角动量算符本征值：$l=0,1,2,\cdots,m=l,l-1,\cdots,-l+1,-l$，对应的本征函数（波函数）是$\Psi_m(\varphi)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}$==

球谐函数$Y_{lm}$是$\hat L^2$和$\hat L_z$共同的本征函数

$\hat L^2 Y_{lm}(\theta,\varphi)=l(l+1)\hbar^2Y_{lm}(\theta,\varphi)$

$\hat L_zY_{lm}(\theta,\varphi)=m\hbar Y_{lm}(\theta,\varphi)$

角动量大小：==$\sqrt{l(l+1)}\hbar$==

$l=0,1,\cdots,n-1;m=-l,-l+1,\cdots,l-1,l$

谐振子能量是量子化的==$E_n=(n+\dfrac12)\hbar\omega$==

波函数$\Psi_n(x)=\left(\dfrac{\alpha}{2^n\sqrt\pi n!}\right)^{1/2}H_n(\alpha x)e^{-\dfrac12\alpha^2x^2},\alpha=\sqrt{\dfrac{m\omega}{\hbar}}$

$H_n(\xi)=(-1)^ne^{\xi}\dfrac{d^n}{d\xi^n}(e^{-\xi^2})$

$H_0(\xi)=1,H_1(\xi)=2\xi,H_2(\xi)=4\xi^2-2,H_3(\xi)=8\xi^3-12\xi$

n偶：偶宇称，n奇：奇宇称

参数	取值范围	描述	公式
主量子数 (n)	$n = 1, 2, 3, ...$	能量大小	$E_n = -13.6 \dfrac1{ n^2} eV$
轨道角量子数 (l)	$l = 0, 1, 2, ..., (n-1)$	角动量的大小	$L = \sqrt{l(l+1)} ħ$
轨道磁量子数 (ml)	$m_l = 0, ±1, ±2, ..., ±l$	L 的 z 分量	$L_z = m_l ħ$
自旋磁量子数 (ms)	$m_s = ±1/2$	S 的 z 分量	$S_z = m_s ħ=\pm\dfrac12\hbar$

¶第二章

¶2.1 有限深势阱

¶2.2 方势垒

$\begin{cases}\varPsi_1=Ae^{ikx}+A'e^{-ikx}&k<0\\varPsi_2=Be^{k'x}+B'e^{-k'x}&0<x<a\\varPsi_3=Ce^{ikx}&x>a\end{cases}$

反射系数：$R=\dfrac{\left |A'\right |^2}{\left | A \right |^2}$

透射系数：$T=\dfrac{\left |C\right |^2}{\left | A \right |^2}$

R+T=1

¶2.3 氢原子

类氢原子：$E_n=-\dfrac{m_eZ^2e^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2n^2}$

$\varPsi(r,\theta,\varphi)=R_{nl}(\theta,\varphi)Y_{lm}(\theta,\varphi)$，前者径向，后者角向（球谐函数）

¶2.4 双态系统

态空间是二维的，于是哈密顿算符变成哈密顿矩阵，薛定谔方程的矩阵形式变为：

$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix}C_1\C_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\H_{21}&H_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C_1\C_2\end{pmatrix}$

取基矢，使$\hat H$为本征态，则有

$\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\H_{21}&H_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E_I&0\0&E_{II}\end{pmatrix}$，进一步得到$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix}C_I\C_{II}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E_I&0\0&E_{II}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C_I\C_{II}\end{pmatrix}$

常用互易关系

$[\hat{A} \hat{B}, \hat{C}] = \hat{A} [\hat{B}, \hat{C}] + [\hat{A}, \hat{C}] \hat{B}$

==$[\hat x,\hat y]=0$==

==$[\hat p_x,\hat p_y]=0$==

==$[\hat x,\hat p_x]=i\hbar$==

==$[\hat x,\hat L_y]=i\hbar z$==

==$[\hat x,\hat L_z]=-i\hbar y$==

==$[x,\hat p_y]=[x,\hat p_z]=0$==

$\left[\hat{L_x},\hat{L_y}\right]=i\hbar\hat{L_z}$

$\left[\hat{L}^2,\hat{L_x}\right]=0$

$[\hat H,\hat L_z]=0$

$[\hat H,\hat p]=0$